الاقترانات

الإقترانات : تحليلها إل العوامل
تكوين المعادلات وحلها .

الهدف : أن يطبق الدارس استراتيجيات حل المسائل الحسابية في هذا الموقف الجديد .
سؤال :

يملك شخص قطعة أرض مكوّنة من مربعين متلاصقين كما في الشكل فإذا كانت مساحة القطعة
= 10000 م2 , ومحيطها = 440 م فما طول ضلع المربع الأكبر للقطعة ؟
تحليل السؤال :
ـ بما أن مجموع مساحتي المربعين = ( 100)2 م 2
إذن المطلوب إيجاد عددين مجموع مربعيهما = (100)2
ذلك لأن مساحة المربع = مربع ضلعه .
فإذا فرضنا أن طول ضلع المربع الأول س / م
وطول ضلع المربع الثاني ص / م
فإن مساحة المربع الأول = س2( بالمتر المربع )
مساحة المربع الثاني = ص2 (بالمتر المربع )
إذن س2 + ص2 = (100)2 م2 ...................(1)
وهذه معادلة تربيعية بمجهولين ولا يمكن حلها إلا بمعادلة أخرى.
من أين نحصل على معادلة أخرى .
الجواب بسيط وهو من محيط قطعة الأرض .
محيط المربع الاول + محيط المربع الثاني
ومحيط المربع = مجموع أطوال أضلاعه أي 4 × طول الضلع
إذن محيط القطعة = 4 × س + × 4 × ص
= 4س + 2ص
4س + 2ص = 440 ............ (2)
2س + ص = 220 بقسمة المعادلة على 2
ومنه ص = 220 ـ 2 س
ويمكننا الآن ان نعوض قيمة ص في المعادلة (1)
س2 + ص2 = (100)2
س2 + ( 220 ـ 2س)2 = (100)2
س2 + (220)2 ـ 880س + 4س2 = (100)2
5س2 ـ 880س + (220)2 = (100)2 بجمع الحدود المتشابهة والترتيب
5س2 ـ 880س + (220)2 ـ (100)2 = صفر
5س2 ـ 880س+ (( 220 ـ 100) (220 + 100)) = صفر
5س2 ـ 880 س + ( 120 × 320 ) = صفر
س2 ـ 176 س + ( 24 × 320) = صفر
س2 ـ 176 س + ( 96 × 80 ) = صفر
( س ـ 80) ( س ـ 96) = صفر
س = 80م أو 96 م
يمكننا الآن أن نعوض قيمة س في المعادلة ص = 220 ـ 2س
فنحصل على ص = 220 ـ ( 2 × 80)
= 220 ـ 160 = 60 م القيمة الأولى

أما قيمة الثانية فهي :
ص = 220 ـ (2 × 96)
= 220ـ 192 = 28 م
إذن قطعة الأرض إمّا أن تكون مكونة من مربعين الأول طول ضلعه 80م والثاني 60م .
أو من مربعين الأول طول ضلعه 96 م والثاني 28 م .
طريقة أخرى للتوصل إلى الحل
تمرين ذهني


هل لفت نظرك شيء ما في معطيات السؤال وله علاقة بنظرية فيثاغوروس ؟؟
1. مجموع مربعي عددين يساوي عدداً مربعاً
س2 + ص2 = ع2
100 2  = 10.000

2. عند دراستك لنظرية فيثاغوروس ، درست حالة المثلث قائم الزاوية الذي أطوال أضلاعه 3 ، 4 ، 5 ولعلك انتبهت إلى أن مضاعفة هذه الأطوال يعطي مثلثاً قائم الزاوية أيضاً وهذا الأمر مسلم به .

5 4 3
10 8 6
15 12 9
20 ... 16 12

3. ومن الجدول أعلاه تعرفت إلى أنَّ
6 2 + 8 2 = 10 2
9 2 + 12 2 = 15 2 ... وهكذا

4. لاحظ ما يلي :
6 ، 8 10
60 ، 80 100 ... وبالتالي :
60 2 + 80 2 = 100 2
إن هذه العلاقة تحقق المعطى الأول في السؤال .

يبقى أن نتحقق إذا كانت هذه المعطيات (60 ، 80) تحقق أو تتوافق مع الشرط الثاني في السؤال .
المحيط = 440 م

من الرسم المرافق يتضح لنا
440 = 4 × 80 + 2 × 60
= 320 + 120
= 440
أي أن 80م ، 60م تحقق المعطى الثاني .

طبعاً هذا التحليل الذهني السليم يوصلنا إلى واحد من حلين ممكنين للسؤال
دون الحاجة إلى وضع واستخدام المعادلات لأجل الوصول إلى الحل.











تم بحمد الله