المنحنى الطبيعي

المنحنى الطبيعي
التوزيع المعتدل (الطبيعي) Normal Distribution
يرتبط هذا التوزيع بمتغير عشوائي متصل وهو دالة في المتغير العشوائي ويمكن تمثيله بيانياً وهو من أهم التوزيعات الاحتمالية لتمثيله العديد من الظواهر وهو المناسب لها سواء كانت القيم التي تحدث في الظاهرة كبيرة جداً أو صغيرة جداً باحتمالات صغيرة.
هو توزيع مستمر يعرف أيضاً بتوزيع جاوس (كارل جاوس) حيث جرى نشره سنة 1733م ويعتبر المتغير المعتدل عشوائي مستمر لكونه يتكون من عدد لانهائي من القيم الحقيقية والتي يمكن ترتيبها على مقياس متصل، وهو من أهم التوزيعات في علم الإحصاء بل يعتبر أساساً لكثير من النظريات الإحصائية الرياضية ويلعب دوراً أساسياً في اختبارات الفروض الإحصائية وفترات الثقة وغير ذلك وأن الكثير من الصفات كالطول والوزن ومستوى الذكاء والزواج وما إلى ذلك إذا قيست ولعدد كبير من المشاهدات فإن توزيعها يقترب من التوزيع الطبيعي إن لم يكن يأخذ صورة التوزيع الطبيعي، ويعرف بأسماء مختلفة منها التوزيع ألجرسي لكون شكله يشبه ألجرس.
خصائص التوزيع المعتدل:
1) منحنى التوزيع المعتدل متصل (مستمر) منحناه (Normal Curve) يشبه شكل الجرس ويمتد ذراعه من – ∞ إلى ∞ .
معادلته الرياضية في الفترة ] – ∞ ، ∞ [ هي:

بإجراء تكامل Y على الفترة ] – ∞ ، ∞ [ نحصل على المساحة تحت المنحنى وفوق المحور الأفقي، والتمثيل البياني له كما مبين بالشكل المقابل وكل نقطة من نقاط المنحنى تمثل قيمة لدالة تعرف بدالة كثافة الاحتمال (Probability density function) عند هذه النقطة والاحتمال هنا أي في التوزيع المستمر هو قيمة المساحة تحت منحنى دالة الكثافة المناظرة لفترة وليس لنقطة فالمساحة باللون الأصفر والمحصورة بين المنحنى والمحور الأفقي والمستقيمان x1 = a , x2 = b تساوي احتمال المتغير العشوائي المستمر X أي قيمة في الفترة [ a , b] هذا وأن المساحة الكلية الواقعة بين منحى التوزيع المعتدل والخط الأفقي تساوي الواحد الصحيح وهي ما تعرف بالمساحة تحت المنحنى = 1 ولمعرفة احتمال وقوع x بين x1 و x2 نحسب تكامل الدالة السابقة من x1 إلى x2 ، مع ملاحظة أن احتمال أي حدث P(A)s يقع بين الصفر والواحد الصحيح أي أن: 1s>sP(A)s>s0
2) المنحنى متماثل حول الخط الرأسي (العمود النازل من أعلى نقطة للمنحنى على الخط الأفقي) وإن التماثل يعني بأن صورة الشكل على أحد جانبي محور التماثل هي الجزء الواقع على الجانب الأخر وموقع العمود على الخط الأفقي يمثل قيمة الوسط الحسابي أي أن المنحنى متماثل حول وسطه الحسابي أو حول المستقيم x = μ ، وان μ هي
القيمة المتوقعة ويصل المنحنى لقيمته العظمى عند X = μ
3) المنحنى ممتد من – ∞ إلى + ∞ ولا يلتقي بالمحور الأفقي.
4) للمنحنى المعتدل معلمتين هما الوسط الحسابي والانحراف المعياري معتمد كلياً عليهم فاختلاف الوسط أو الانحراف المعياري لتوزيعين معتدلين يعني اختلاف في الشكل أو
اختلاف في المركز كما مبين بالشكل الآتي ولكل زوج ( μ ، σ ) للوسط والانحراف المعياري منحنى توزيع مختلف وبالتالي تختلف المساحة تحت المنحنى لكل منحنى ولذا
أخذنا ( 0 ، 1) كتوزيع معياري يسمى التوزيع الطبيعي المعياري متغيره العشوائي هو Z السابق ذكرها، وهنا جدول خاص بها.



5) للمنحنى قمة واحدة أي له منوال واحد وبالتالي فالمنحني وحيد المنوال
6) المتوسطات الثلاثة متساوية (الوسط والوسيط والمنوال) بالنسبة للمتغير العشوائي المعتاد.
7) المساحة الواقعة تحت المنحنى والمحصورة بالمستقيمين:
x = μ – σ و x = μ + σ تساوي 68.26% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنى أي 68.26% من قيم المتغير العشوائي المعتاد تقع في [μ + σ ، μ – σ]
x = μ – 2σ و x = μ + 2σ تساوي 95.45% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنى أي 95.45% من قيم المتغير العشوائي المعتاد تقع في [μ + 2σ ، μ – 2σ]
x = μ – 3σ و x = μ + 3σ تساوي 99.73% تقريباً من المساحة الكلية تحت المنحنى أي 99.73% من قيم المتغير العشوائي المعتاد تقع في [μ + 2σ ، μ – 2σ]
أي أن وقوع أي مفردة على بعد 1، 2، 3 انحرافات معيارية (s1s, 2s, 3s) من الوسط الحسابي هي القيم السابقة كما مبين بالشكل الآتي:


لاحظ أن 34.19% من المساحة تحت المنحنى التي تساوي الواحد الصحيح أي 0.3413 ، وبجمع القيم المبينة في الرسم أعلاه نجد أنها تساوي الواحد الصحيح تقريباً.
إن هذه القيم ما هي إلا احتمالات للقيم كمساحة تحت المنحنى ولأي دالة احتمال يكون مجموع احتمالاتها البسيطة يساوي الواحد الصحيح ونقصد في الأصل المساحة هنا لمساحة الأعمدة للقيم ولكن من الصعب رسم كل الأعمدة وعرض احتمال كل منها ولذا استعضنا عنها باحتمالاتها.
0.0013 + 0.0214 + 0.1359 + 0.3413 + 0.3413 + 0.1359 + 0.0214 + 0.0013 = 0.9998 ≈ 1
والتوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution) الذي وسطه صفر وانحرافه المعياري 1 متغيره العشوائي المعياري Z بالصيغة السابق ذكرها، ومنحناه كما مبين أعلاه ويمكن حذف s من القيم على الخط الأفقي وقد نضع قيم x والمناظرة لها Z على الخط الأفقي إن دعت الحاجة.
وقد أمكن إيجاد جدول لتوزيع معتدل معياري لقياس جميع التوزيعات المعتادة (اعتدالي) من خلال النظرية التالية:
إذا كانت x متغير عشوائي له توزيع اعتدالي بتوقع μ وتباين σ2 حيث σ الانحراف المعياري فإن: Z = (x – μ)÷σ له توزيع اعتدالي وسطه صفر وانحرافه المعياري واحد صحيح ويعرف بالتوزيع المعتدل المعياري وله جداول لقيم دالة التوزيع الاحتمالي ولقيم دالة كثافة الاحتمال لأي قيمة من قيم المتغير العشوائي، ويعرف المنحنى هنا بالمنحنى الطبيعي القياسي خطه الأفقي مقسم لدرجات Z كما مبين بالشكل التالي والذي يبين أيضاً المساحة تحت المنحنى وقد قسمت لدرجات معيارية حسب قيم Z حيث قيم x تناظرها قيم Z تحسب من الصيغة الرياضية السابقة أو من الصيغة: Z = ( x –`X ) ÷ s حيث s الانحراف المعياري وأن القيمة Z قيمة معيارية وهي الفرق بين القيمة المشاهدة والوسط الحسابي معبراً عنها بوحدات معيارية بمعنى أكثر دقة قيمة Z عبارة عن عدد الوحدات المعيارية (الانحراف المعياري) التي تفصل بين قيمة x والوسط الحسابي.
وهناك خواص أخرى من بينها إذا كان Ln(x)s توزيع طبيعي فإن x توزيع طبيعي وستذكر الأخرى في حينها والخاصة بتوزيع ذات الحدين وتوزيع χ2 .
يمكن صياغة معادلة المنحنى بدلالة Z على الصورة الآتية حيث أن Y تمثل كثافة قيم المتغير الطبيعي المعياري أو التكرارات للمنحنى.




يمكن تحويل قيمة المتغير المعتدل x لمتغير معتدل معياري Z من الصيغة السابقة فمثلاً إذا كان لدينا توزيع اعتدالي وسطه 150 درجة وانحرافه المعياري 90 درجة فيمكن باستخدام الصيغة السابقة حساب قيمة x = 270 نستخدم الصيغة السابقة أي أن:
Z = ( 270 – 90) ÷ 90 = 2
بالرجوع لجدول Z نجد أن المساحة تحت المنحنى التي تقابل Z = 2 تساوي 0.9772 (المساحة التي تقع على يسار العدد 2 (الشكل كل السابق)، وتحسب بطريقتين:
الأولى : المساحة = 1 – (0.0013 + 0.0214) = 1 – 0.0227 = 0.9773
الثانية : المساحة = 0.0013 + 0.0214 + 0.1359 + 0.3413 + 0.3413 + 0.1359 = 0.9771